Tipe Soal: Essay/Uraian | Score: +10.00 Perahu A berada pada 4,0 km sebelah utara dan 2,5 km sebelah timur kapal B. Kapal A bergerak ke arah selatan laju tetap 22 km/jam sedangkan kapal B bergerak 40 km/jam ke arah 37° ke utara terhadap arah timur. (a) Dalam notasi vektor satuan î dan ĵ, berapakah kecepatan relatif kapal A terhadap B? (b) Tentukan posisi kapal A relatif terhadap kapal B sebagai fungsi dari t, dengan posisi yang dituliskan di atas adalah posisi kedua kapal pada saat t = 0. (c) Kapan kedua kapal berjarak pisah terpendek? (d) Berapa jarak pisah terpendek kedua kapal tersebut?
Jawaban:
(a) Untuk mencari kecepatan relatif kapal A terhadap B, kita perlu mengurangi vektor kecepatan kapal B dari vektor kecepatan kapal A.
Kecepatan kapal A adalah 22 km/jam ke selatan, yang dapat dituliskan dalam notasi vektor sebagai -22 î km/jam.
Kecepatan kapal B adalah 40 km/jam pada sudut 37° ke utara terhadap arah timur. Untuk mengubah kecepatan ini ke notasi vektor, kita perlu membaginya menjadi komponen utara dan timur.
Komponen utara = 40 km/jam * sin(37°) = 40 km/jam * 0.6018 ≈ 24.072 km/jam
Komponen timur = 40 km/jam * cos(37°) = 40 km/jam * 0.7986 ≈ 31.944 km/jam
Jadi, kecepatan kapal B dalam notasi vektor adalah 31.944 î km/jam + 24.072 ĵ km/jam.
Untuk mencari kecepatan relatif, kita kurangi vektor kecepatan kapal B dari vektor kecepatan kapal A:
Kecepatan relatif = (-22 î km/jam) - (31.944 î km/jam + 24.072 ĵ km/jam)
= (-22 - 31.944) î km/jam - 24.072 ĵ km/jam
= -53.944 î km/jam - 24.072 ĵ km/jam
Jadi, kecepatan relatif kapal A terhadap B adalah -53.944 î km/jam - 24.072 ĵ km/jam.
(b) Untuk menentukan posisi kapal A relatif terhadap kapal B sebagai fungsi dari t, kita perlu menghitung perubahan posisi relatif dalam komponen utara dan timur.
Perubahan posisi utara = kecepatan relatif utara * waktu = (-53.944 km/jam) * t
Perubahan posisi timur = kecepatan relatif timur * waktu = (-24.072 km/jam) * t
Posisi relatif kapal A terhadap B adalah posisi awal A (4.0 km utara) dikurangi perubahan posisi utara dan posisi awal B (2.5 km timur) dikurangi perubahan posisi timur.
Posisi relatif kapal A terhadap B = (4.0 km - (-53.944 km/jam * t)) î + (2.5 km - (-24.072 km/jam * t)) ĵ
(c) Untuk mencari kapan kedua kapal berjarak pisah terpendek, kita perlu mencari waktu ketika jarak antara posisi relatif kapal A terhadap B adalah minimum. Jarak antara posisi relatif adalah magnitude dari vektor posisi relatif.
Jarak = √[(posisi relatif utara)^2 + (posisi relatif timur)^2]
Dengan menggunakan persamaan posisi relatif dari bagian (b), kita dapat menghitung jarak sebagai fungsi dari t.
Jarak = √[(4.0 km - (-53.944 km/jam * t))^2 + (2.5 km - (-24.072 km/jam * t))^2]
(d) Untuk mencari jarak pisah terpendek kedua kapal tersebut, kita perlu mencari nilai minimum dari fungsi jarak yang telah ditentukan dalam bagian (c). Dengan menggunakan metode kalkulus, kita dapat mencari turunan pertama fungsi jarak terhadap t, dan mencari nilai t ketika turunan tersebut sama dengan nol. Setelah itu, kita dapat menggantikan nilai t tersebut ke dalam fungsi jarak untuk mendapatkan jarak pisah terpendek.